Lähdekoodi sivulle Ceviaani

[[Tiedosto:Cevian triangle.svg|pienoiskuva|Kolme ceviaania (katkoviivat), jotka leikkaavat toisensa [[ceviaanipiste]]essä. Ceviaanit kohtaavat kolmion sivut (mustat) kantapisteissä ja kantapisteet muodostavat [[ceviaanikolmio]]n (punainen).]]
'''Ceviaani''' on [[geometria]]ssa [[kolmio]]on liittyvä [[jana (geometria)|jana]]. Se yhdistää kolmion [[kärki (geometria)|kärjen]] ja sen vastaisen [[sivu (geometria)|sivun]] tai sivun jatkeella olevaan pisteeseen, joka ei kuitenkaan ole kolmion kärkipiste.<ref name=Cevian/><ref name=Stahl/> Sivun kohtaamispistettä kutsutaan [[kantapiste]]eksi.

Nimi ''Cevian'' tai ''cévienne'' on alun perin annettu italialaisen [[Giovanni Ceva]]n kunniaksi. Muunkieliset vastineita nimelle ovat muun muassa {{k-en|Cevian}}, {{k-fr|Cévienne}}, {{k-ca|Ceviana}}, {{k-gl|Ceviana}}, {{k-it|Ceviana}}, {{k-pl|Prosta Cevy}}, {{k-pt|Ceviana}} ja {{k-uk|Чевіана}}. Se ei ole vakiinnuttanut asemaansa suomalaisessa termistössä, mutta muunlaisen nimityksen puuttuessa tätä nimitystä voidaan käyttää suorana käännöksenä.<ref name=c/>

Kolmion eri kärjistä lähtevät ceviaanit voivat kaikki leikata toisensa yhteisessä leikkauspisteessä, [[ceviaanipiste]]essä. Tällaisen leikkauspisteen olemassaolon voi todeta [[Cevan lause]]en avulla.<ref name=Cevian/><ref name=CevasTheorem/>

== Ceviaanin pituus ==
[[Tiedosto:Stewart's Theorem.svg|pienoiskuva|Ceviaani tapauksessa, jossa sen kantapaiste jakaa vastaisen sivun a osiin x ja y.]]
[[Stewartin lause]]en mukaan ceviaanin pituus <math>p</math> toteuttaa yhtälön <math>a(p^2 + xy) = b^2x + c^2y,</math> missä <math>a, \, b</math> ja <math>c</math> ovat kolmion sivuja ja <math>x</math> on jaetun sivun <math>a</math> kärjen <math>B</math> puoleinen osa ja <math>y</math> kärjen <math>C</math> puoleinen osa. Ceviaanin pituus saadaan tästä ratkaistua  
:<math>p=\sqrt{\frac{b^2x+c^2y}{a} -xy}</math>.

=== Ceviaanien pituuksia ===
Seuraavissa ceviaanien pituuksien lausekkeissa <math>A</math> merkitsee kolmion pinta-alaa, <math>\beta</math> ja <math>\gamma</math> kolmion sivujen <math>b</math> ja <math>c</math> vastaisia kulmia sekä <math>p</math> kolmion piirin puolikasta eli [[puolipiiri]]ä. Ne ovat kaikki johdettavissa Stewartin lauseesta.
* [[Korkeusjana]]n pituus <math>h_a=\frac{bc}{2R}=\frac{2A}{a}=c \sin \beta = b \sin \gamma</math>,<ref name=maolv/>
* [[Kulmanpuolittaja]]n pituus <math>w_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}=\frac{1}{b+c}\sqrt{bc(b+c-a)(b+c+a)}</math> <ref name=maolv/>,
* [[Keskijana]]n pituus <math>m_a=\tfrac{1}{2} \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}</math> <ref name=maolv/> ja
* [[Symmediaani]]n pituus <math>L_a=\frac{bc}{b^2+c^2} \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}</math><ref name=royster16/>.

== Ceviaanin kantapiste ==
Kantapiste on ceviaanin leikkauspiste kärjen vastaisella sivulla tai sen jatkeella. Jos kantapiste on  kolmion sivulla, se jakaa sivun kahteen osaan. Seuraavien ceviaanien kantapisteiden jako-ominaisuuksia:
* Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa eli b : c.<ref name=maolv/>
* Keskijana jakavat vastaisen sivun kahteen yhtäpitkään osaan eli sivun jakosuhde on 1 : 1.<ref name=maolv/>
* Symmediaani jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen neliöiden suhteessa eli b<sup>2</sup> : c<sup>2</sup>.<ref name=ucc01/>
Kun ceviaanien kantapisteet yhdistää toisiinsa, saadaan uusi kolmio, [[ceviaanikolmio]].

== Lähteet ==
*{{Kirjaviite | Tekijä =Seppänen, Raimo et al. | Nimeke =MAOL | Vuosi =1999 |Selite =(lukion taulukkokirja, vihreä) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Otava | Isbn = 951-1-16053-2}}

=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=c>Ballew, Pat: [http://www.pballew.net/arithme1.html#cevian Cevian] {{Wayback|1=http://www.pballew.net/arithme1.html#cevian |päiväys=20120204055555 }}</ref>
* <ref name=Stahl>{{Kirjaviite | Tekijä=Stahl, Saul | Nimeke=Geometry from Euclid to Knots | Julkaisija =Dover Publications | Vuosi =2011 | Isbn = 978-0-486-47459-5}}, s. 188.</ref> 
*<ref name=royster16>Royster, David C.: [http://www.ms.uky.edu/~droyster/courses/fall11/MA341/Classnotes/Lecture%2016.pdf luento 16] , University of Kentucky</ref>
* <ref name=maolv>Seppänen, Raimo et al., MAOL (vihreä), s. 28</ref>
* <ref name=Cevian>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Cevian.html | Nimeke = Cevian  | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=CevasTheorem>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/CevasTheorem.html | Nimeke =  Ceva's Theorem | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
*<ref name=ucc01>University College Cork: [http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/MathEnrichment/7.Lemoine.pdf Lemoine Point] {{Wayback|1=http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/MathEnrichment/7.Lemoine.pdf |päiväys=20090902122356 }} (matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia)</ref>
}}

[[Luokka:Kolmion geometria]]
[[Luokka:Geometria]]