Lähdekoodi sivulle Buffonin neula

[[Tiedosto:Buffon needle.gif|oikea|kehys|Neula ''a'' leikkaa viivan, ''b'' ei leikkaa.]]
'''Buffonin neula''' oli ensimmäinen{{Lähde}} [[Geometrinen todennäköisyys|geometrisen todennäköisyyden]] ongelma. Oletetaan, että lattia on tehty yhdensuuntaisista ja samanlevyisistä laudoista. Mikä on [[todennäköisyys]], että lattialle pudotettu neula leikkaa laudan reunan eli putoaa useamman kuin yhden laudan päälle?
Tämän kysymyksen esitti ensimmäisen kerran kreivi [[Georges Leclerc de Buffon]] 1700-luvulla.<ref>{{Verkkoviite|osoite=http://datagenetics.com/blog/may42015/index.html |nimeke=Buffon's Needle |julkaisu=datagenetics.com |viitattu=2024-02-26 |ietf-kielikoodi=en}}</ref> 

== Matemaattinen formulointi ==

Neula, jonka pituus on ''l'', pudotetaan tasolle, jossa on yhdensuuntaisia [[Suora|suoria]], joiden etäisyys on ''t''. Millä todennäköisyydellä neula leikkaa suoran?

== Ratkaisu ==

Olkoon ''x'' etäisyys neulan keskipisteestä lähimpään suoraan ja ''θ'' neulan ja suoran välinen [[kulma]].
Neulan keskipisteen etäisyys lähimpään suoraan on enintään ''t/2'' ja kaikki etäisyydet ovat yhtä todennäköisiä, joten ''x'':n [[tiheysfunktio]] välillä ''0'' ja ''2/t'' on


<math>
\begin{cases}
\frac{2}{t} &:\ 0 \le x \le \frac{t}{2}\\
0 &: \text{muualla.}
\end{cases}
</math>


Vastaavasti kulman ''θ'' tiheysfunktio on


<math>
\begin{cases}
\frac{2}{\pi} &:\ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\\
0 &: \text{muualla.}
\end{cases}
</math>


Koska ''x'' ja ''θ'' eivät ole toisistaan riippuvaisia, voidaan tiheysfunktiot yhdistää


<math>
\begin{cases}
\frac{4}{t\pi} &:\ 0 \le x \le \frac{t}{2}, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\\
0 &: \text{muualla.}
\end{cases}
</math>



Trigonometriaa käyttämällä näemme että neula leikkaa suoran, jos


<math>x \le \frac{l}{2}\sin\theta.</math>


=== Tapaus 1: Lyhyt neula ===

Oletetaan että neulan pituus ''l'' on pienempi kuin suorien etäisyys ''t''. Kaikista mahdollisista neulan asennoista olemme kiinnostuneet niistä, joissa <math>x \le \frac{l}{2}\sin\theta.</math>.
Integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saadaan todennäköisyydeksi P(''neula leikkaa suoran'')

:<math>P = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{(l/2)\sin\theta}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2 l}{t\pi}.</math>

=== Tapaus 2: Pitkä neula ===

Oletetaan että <math>l > t</math>. Nyt integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saadaan:


:<math>\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{m(\theta)}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta ,</math>


missä <math>m(\theta) </math> on Minimi <math>[(l/2)\sin\theta</math> , <math>t/2] </math>.


Suorittamalla integroinnin näemme, että kun <math>t < l</math>, todennäköisyys että neula leikkaa suoran on


:<math>\frac{2 l}{t\pi} - \frac{2}{t\pi}\left\{\sqrt{l^2 - t^2} + t\sin^{-1}\left(\frac{t}{l}\right)\right\}+1</math>

tai

:<math> \frac{2}{\pi} \cos^{-1}\frac{t}{l} + \frac{2}{\pi} \frac{l}{t} \left\{1 - \sqrt{1 - \left( \frac{t}{l} \right)^2  } \right\}.  </math>


Toisen lausekkeen ensimmäinen termi kertoo todennäköisyyden, jolla neulan kulma on sellainen, että se leikkaa suoran ''x'':stä riippumatta. Vastaavasti toinen termi kertoo todennäköisyyden, jolla neula tippuu kulmaan, jossa ''x'':llä on väliä ja neula leikkaa suoran.

== π: kokeellinen määrittäminen ==
Italialainen matemaatikko Lazzarini suoritti kokeen 1901, jossa hän laittoi koneen heittämään tikkua 3408 kertaa. Hän sai tulokseksi <math>P(tulitikku\ leikkaa\ viivan) = \frac{1808}{3408}.</math>
Jos ratkaistaan <math> \pi = \frac {2l}{{P}t}.</math> ja sijoitetaan Lazzarinin määrittämän likiarvon P:lle, saadaan :<math> \pi = 3,1415929, </math> joka on oikein kuuden desimaalin tarkkuudella. 
Koe on herättänyt paljon epäilyksiä, sillä Lazzarinin valitsemat 3408 ja 5/6 johtavat suoraan hyvin tunnettuun piin likiarvoon  <math> \pi = \frac{355}{113}.</math>( <math> 3408\frac{5}{6} ,</math> on 355:n monikerta.{{Selvennä|}})

== Tulitikkukoe ==

Olkoon alustassa sen päästä päähän ulottuvia yhdensuuntaisia viivoja, joiden välinen etäisyys on kaksi kertaa käytettävien tulitikkujen pituus.Tulitikkukokeessa tarkastellaan todennäköisyyttä sille, että heitettäessä tulitikkua alustalle se leikkaa jonkin alustan viivoista. Todennäköisyys yhtä tikkua heitettäessä on
:<math>P(tulitikku\ leikkaa\ viivan) = \frac{1}{\pi} </math> (aiemmin johdetun todennäköisyyden laskukaavan nojalla).

Tästä saadaan

:<math> \pi = \frac{1}{P(tulitikku\ leikkaa\ viivan) }.</math>

Nyt voidaan kokeellisesti määrittää todennäköisyys sille, että tikku leikkaa viivan heittämällä tikkua tarpeeksi monta kertaa. Kokeellinen todennäköisyys saadaan laskettua jakamalla onnistuneiden heittojen määrä kaikkien heittojen määrällä, eli

:<math> P = \frac{tulitikku \ leikkaa \ viivan}{kaikki \ heitot}.</math> 
Arvio piille saadaan lasketun todennäköisyyden käänteislukuna.

== Lähteet ==
* {{cite journal|doi = 10.2307/2690682|last = Badger|first = Lee|title=Lazzarini's Lucky Approximation of π|journal= Mathematics Magazine|volume=67|issue=2|month=April|year=1994|pages=83–91|jstor=2690682|publisher = Mathematical Association of America}}
* {{cite journal|last = Ramaley|first = J. F.|title = Buffon's Noodle Problem|journal = The American Mathematical Monthly|volume = 76|issue = 8|month = October | year = 1969|pages = 916–918|doi = 10.2307/2317945|jstor = 2317945|publisher = Mathematical Association of America}}
* {{cite book|last = Mathai|first = A. M.|title = An Introduction to Geometrical Probability|year = 1999|publisher = Gordon & Breach|location = Newark|url = http://books.google.com/?id=FV6XncZgfcwC | isbn=978-90-5699-681-9 |page=5}}
* {{cite journal| last = Dell|first = Zachary| author2 = Franklin, Scott V.|title = The Buffon-Laplace needle problem in three dimensions|journal = Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|month = September| volume = 09| issue = 9| pages = 010| year = 2009| doi = 10.1088/1742-5468/2009/09/P09010| bibcode = 2009JSMTE..09..010D}}
* Schroeder, L. (1974). "Buffon's needle problem: An exciting application of many mathematical concepts". ''Mathematics Teacher'', 67 (2), 183–6.

=== Viitteet ===
{{Viitteet}}

== Aiheesta muualla ==
* [http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml Buffon's Needle] cut-the-knot
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml Math Surprises: Buffon's Noodle] cut-the-knot
* [http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html MSTE: Buffon's Needle]
* [http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html Buffon's Needle Java Applet]
* [http://www.metablake.com/pi.swf Estimating PI Visualization (Flash)]
* [http://www.slideshare.net/cypztm/buffons-needle-fun-and-fundamentals Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation)] slideshare
* [http://animation.yihui.name/prob:buffon_s_needle Animations for the Simulation of Buffon's Needle] {{Wayback|1=http://animation.yihui.name/prob:buffon_s_needle |päiväys=20120531003409 }} Yihui Xie
* [http://www.ventrella.com/Buffon/index.html 3D Physical Animation Java Applet] Jeffrey Ventrella
* {{Verkkoviite| Tekijä = Padilla, Tony |Nimeke=∏ Pi and Buffon's Needle|Osoite=http://www.numberphile.com/pi/pi_matches.html|Julkaisu=Numberphile|Julkaisija=Brady Haran|viitattu=11.9.2013|arkisto=https://web.archive.org/web/20130517072808/http://www.numberphile.com/pi/pi_matches.html|arkistoitu=17.5.2013}}

{{Auktoriteettitunnisteet}}

[[Luokka:Todennäköisyyslaskennan ongelmat]]
[[Luokka:Matemaattiset ongelmat]]