Lähdekoodi sivulle Borsukin–Ulamin lause

{{lähteetön}}Antipodipisteitä ovat kaikki [[Yksikköpallo|pallopinnan]] '''S'''<sup>''n+1''</sup> vastakkaiset pisteparit ''(x, −x)''. '''Borsukin–Ulamin lauseen''' mukaan jokainen [[jatkuva funktio]] ''f'' : '''S'''<sup>''n+1''</sup>&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> sisältää antipodipisteen ''x'' siten, että ''f(x)=f(-x)''.

Borsukin–Ulamin lause on eräs algebrallisen topologian merkittävimmistä tuloksista. Geometrisesti lause sanoo, että jos litistää pallon lattiatasoon, niin aina löytyy antipodipistepari ''(x, −x)'', joka kuvautuu samaan kohtaa päällekkäin. Tapaus ''n''=1 (ympyrä) havainnollistaa vaikkapa sitä, että maapallon (mielivaltaisella) päiväntasaajalla on kaksi pistettä, joissa lämpötilat ovat samat. Edeltävä voidaan todistaa helposti, kun sovelletaan [[Jatkuvien funktioiden väliarvolause|Bolzanon lausetta]] ympyrällä määriteltyyn kuvaukseen ''f(x) = g(x)-g(-x)''. Tapausta ''n''=2 (pallo) havainnollistetaan usein sillä, että maapallon pinnalla on aina olemassa kaksi vastakkaista pistettä, joissa lämpötila ja ilmanpaine ovat samat. Kuvauksissa kaikkien fysikaalisten suureiden oletetaan muuttuvan jatkuvalla tavalla.

Borsukin–Ulamin lauseen otaksui [[Stanisław Ulam]]. Sen todisti [[Karol Borsuk]] vuonna 1933. On olemassa alkeellinen todistus sille, että Borsukin–Ulamin lauseesta seuraa [[Brouwerin kiintopistelause]].

== Seurauksia ==

* Mikään avaruuden '''R'''<sup>''n''</sup> osajoukko ei ole [[homeomorfinen]] pallon '''S'''<sup>''n+1''</sup> kanssa. (Jos esim. pallo kuvataan jatkuvasti tasoon, niin antipodipisteiden kuvautuminen samaan pisteeseen ilmaiseen sen, ettei kuvaus voi olla injektio, eikä näin ollen homeomorfismikaan.)
* [[Lusternikin-Schnirelmanin lause]]: Jos pallo '''S'''<sup>''n''</sup> peitetään ''n''&nbsp;+&nbsp;1:llä avoimella joukolla, niin yksi joukoista sisältää antipodipisteet (''x'',&nbsp;&minus;''x''). (Tämä tulos on ekvivalentti Borsukin–Ulamin lauseen kanssa.)
* [[Stonen-Tukeyn lause]] eli [[Kinkkuvoileipälause]]: Kaikille kompakteille <math>A_1,\ldots, A_n\in\mathbb{R}^n</math> voidaan löytää (n-1)-ulotteinen hypertaso, joka jakaa kunkin ''A<sub>i</sub>'' kahteen osajoukkoon, joiden ''n''-ulotteiset Lebesguen mitat ovat yhtä suuret. (''Kinkkuvoileipälause'' siis kertoo, että on olemassa veitsen leikkaus, jolla kolmesta aineksesta tehty voileipä voidaan jakaa yhdellä leikkauksella kaikkien ainesten osalta kahteen yhtäsuureen osaan.

[[Luokka:Algebrallinen topologia]]
[[Luokka:Matemaattiset teoreemat]]