Lähdekoodi sivulle Biot’n ja Savartin laki

[[Kuva:Electromagnetism.svg|thumb|Biot'n ja Savartin lain mukaan johtimessa kulkeva sähkövirta ''I'' synnyttää johtimen ympärille magneettikentän ''B''.]]

'''Biot'n ja Savartin laki''' on [[sähkömagnetismi]]a kuvaava laki, jolla on myös sovelluksia [[aerodynamiikka|aerodynamiikassa]]. Alun perin laki kuvaa vakiosähkövirran synnyttämää [[magneettikenttä]]ä. Yksinkertaisen analogian avulla laki voidaan ulottaa myös laskemaan [[pyörre|pyörteiden]] synnyttämiä ilman nopeuksia.

Biot'n ja Savartin laki seuraa [[Ampèren laki|Ampèren laista]]. Se on nimetty ranskalaisten fyysikoiden [[Jean Baptiste Biot]]'n (1774–1862) ja [[Felix Savart]]in (1791–1841) mukaan.<ref name=IL /> Kaava kertoo, että jos määrittelemme differentiaalisen virta-alkion <math>\scriptstyle I\,\mathrm{d}\mathbf{l}</math>, niin sitä vastaava differentiaalinen [[magneettivuon tiheys]] on <ref name=EV/><ref>{{Verkkoviite| Osoite = http://planetphysics.org/encyclopedia/BiotSavartLaw.html| Nimeke = Biot-Savart law| Tekijä = | Tiedostomuoto = html| Julkaisija = PlanetPhysics| Viitattu = | Kieli = {{en}}| arkisto = https://web.archive.org/web/20090322165822/http://planetphysics.org/encyclopedia/BiotSavartLaw.html| arkistoitu = 22.3.2009}}</ref>

:<math> \mathrm{d}\mathbf{B} =\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,\mathrm{d}\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,\mathrm{d}\mathbf{l} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}  </math> 

missä

:<math>\scriptstyle \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \frac{N}{A^2}</math> on tyhjiön [[permeabiliteetti]]
:<math>\scriptstyle I\mathbf{}</math> on virta [[ampeeri|ampeereina]]
:<math>\scriptstyle \mathrm{d}\mathbf{l}</math> on virta-alkion differentiaalinen pituusvektori
:<math> \scriptstyle \mathbf r  </math> on tarkasteltavan magneettikentän pisteen [[paikkavektori]]
:<math>\scriptstyle \mathbf{\hat r}</math> on yksikkövektori virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen
:<math>\scriptstyle r\mathbf{}</math> on etäisyys virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen (vektorin <math> \mathbf r  </math> pituus).

Integroimalla tätä suljetun virtasilmukan yli saadaan silmukan synnyttämä magneettikenttä määritettyä mielivaltaisessa pisteessä <ref name=EV/><ref name=":0">{{Kirjaviite | Tekijä = I. S. Grant & W. R. Phillips| Nimeke = Electromagnetism, 2. painos| Kappale = 4.4.2| Sivu = 138| Selite = |Julkaisupaikka = | Julkaisija = Wiley| Vuosi = 2003| Tunniste = | Isbn = 0-471-92712-0 | Viitattu = | Kieli = {{en}}}}</ref>

:<math>\mathbf{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\oint\frac{\mathrm d\mathbf l\times\mathbf r}{r^3} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint \frac{\mathrm{d}\mathbf{l} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}</math>.

== Ei-origokeskinen muoto ==
[[Tiedosto:Biot'n-Savart'n laki.svg|pienoiskuva|Magneettivuon tiheys pisteessä <math display="inline">P</math> aiheutuu useasta differentiaalisesta kentästä <math display="inline">\mathrm d\mathbf B</math>, kuten pisteessä <math display="inline">Q</math> esitetyn virta-alkion kentästä. Tarkastelija sijaitsee origossa (<math display="inline">O</math>).]]
Yllä esitetty muoto differentiaaliselle magneettivuon tiheydelle pätee vain tapauksessa, jossa tarkastelija (eli [[Koordinaatisto#Origo|origo]]) sijaitsee tarkasteltavassa magneettikentän pisteessä. Jos tarkastelija on systeemin ulkopuolinen, täytyy yhtälöön tehdä pieniä muutoksia.

Tarkastellaan virtajohdinta, jossa kulkee sähkövirta <math display="inline">I</math>. Kiinnitetään johtimen mielivaltaiseen pisteeseen <math display="inline">Q</math> virta-alkion differentiaalinen pituusvektori <math display="inline">\mathrm d\mathbf l'</math>. Merkitään vektoria <math display="inline">OP</math> (pisteen <math display="inline">P</math> paikkavektori) <math display="inline">\mathbf r</math>:llä ja vektoria <math display="inline">OQ</math> (pisteen <math display="inline">Q</math> paikkavektori) <math display="inline">\mathbf r'</math>:lla. [[Vektori#Reaaliavaruuden laskutoimituksia|Vektorien laskusääntöjen]] nojalla vektori <math display="inline">QP</math> on tällöin <math display="inline">\mathbf r-\mathbf r'</math>. Biot'n ja Savartin lain yleinen muoto saadaan korvaamalla edellä esitetyssä muodossa vektori <math display="inline">\mathbf r</math> vektorilla <math display="inline">\mathbf r-\mathbf r'</math>. Tällöin magneettivuon tiheys pisteessä <math display="inline">P</math> origosta katsottuna on:

<math> \mathrm d\mathbf B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\mathrm d\mathbf l'\times(\mathbf r-\mathbf r')}{||\mathbf r-\mathbf r'||^3}  </math>. <ref name=":0" />

Merkintä <math display="inline">||\mathbf r-\mathbf r'||</math> tarkoittaa vektorin <math display="inline">\mathbf r-\mathbf r'</math> [[Normi (matematiikka)|normia]] eli pituutta. Integraalimuoto saadaan vastaavasti:

<math>\mathbf{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\oint\frac{\mathrm d\mathbf l'\times(\mathbf r-\mathbf r')}{||\mathbf r-\mathbf r'||^3}</math>. <ref name=":0" />

Ei-origokeskisen muodon etu on se, että sen avulla magneettivuon tiheys on hyvin määritelty myös, jos <math display="inline">P</math> on johtimen piste (jolloin alkuperäisessä yhtälössä <math display="inline"> r=0 </math>). Tällöin tosin magneettivuon tiheys on nolla, sillä <math>\mathrm d\mathbf l'\times(\mathbf r-\mathbf r')=0</math>.

== Esimerkkejä ==

=== Pitkän, suoran virtajohtimen magneettikenttä ===
Lasketaan (äärettömän) pitkän, ohuen, <math display="inline">z</math>-akselilla kulkevan virtajohtimen magneettivuon tiheys johtimen ulkopuolella etäisyydellä <math display="inline">r</math>. Johtimessa kulkee sähkövirta <math display="inline">I</math>.

'''Ratkaisu:'''

Käytetään hyödyksi edellisen kappaleen kuvaa ja merkintöjä. Origo sijaitsee nyt johtimessa, sillä se on <math display="inline">z</math>-akselin nollapiste. Koska ollaan kiinnostuneita vain etäisyyden vaikutuksesta magneettivuon tiheyteen, on helpointa valita piste <math display="inline">P</math> siten, että siitä kohtisuorasti johtimeen vedetty jana osuu origoon. Piste <math display="inline">Q</math> sijaitsee myös <math display="inline">z</math>-akselilla.

Virtajohdin kulkee <math display="inline">z</math>-akselilla, joten virta-alkio on

<math>I\,\mathrm d\mathbf l'=I\,\mathbf k\,\mathrm dz</math>,

missä <math display="inline">\mathbf k</math> on <math display="inline">z</math>-akselin [[Yksikkövektori|kantavektori]]. Jos virta käännetään vastakkaissuuntaiseksi, korvataan kantavektori <math display="inline">-\mathbf k</math>:lla. Muut vektorit ja niiden pituudet ovat:

<math>\begin{align}
OP=\mathbf r,& \quad ||\mathbf r||=r \\
OQ=\mathbf r'=z\mathbf k,& \quad ||\mathbf r'||=|z| \\
QP=\mathbf r-\mathbf r',& \quad ||\mathbf r-\mathbf r'||=\sqrt{r^2+z^2}
\end{align}</math>

Merkitään [[Ristitulo|ristituloa]] varten vektoreiden <math>I\,\mathrm d\mathbf l'</math> ja <math display="inline">\mathbf r-\mathbf r'</math> välistä kulmaa <math>\theta</math>:lla. [[Trigonometrinen funktio#Määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla|Trigonometrian]] avulla huomataan, että

<math>\sin\theta=\frac{||\mathbf r||}{||\mathbf r-\mathbf r'||}=\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}</math>.

Lasketaan magneettivuon tiheys (suuruus) pisteessä <math display="inline">P</math> käyttäen Biot'n ja Savartin lain ei-origokeskistä muotoa. Koska johdin on äärettömän pitkä, ovat integrointirajat <math>-\infty<z<\infty</math>.

<math>\begin{align}
B(r)=||\mathbf B(r)||&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint\frac{||\mathrm d\mathbf l'\times(\mathbf r-\mathbf r')||}{||\mathbf r-\mathbf r'||^3} \\
&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{||\mathbf r-\mathbf r'||\sin\theta}{||\mathbf r-\mathbf r'||^3}\,\mathrm dz \\
&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{r}{(r^2+z^2)\sqrt{r^2+z^2}}\,\mathrm dz \\
&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{r}{(r^2+z^2)^{3/2}}\,\mathrm dz \\
&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\Bigg|_{-\infty}^{\infty}\frac{z}{r\sqrt{r^2+z^2}} \\
&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{2}{r} \\ &=\frac{\mu_0I}{2\pi r}
\end{align}</math>

==  Lähteet  ==
{{Viitteet|viitteet
<ref name=IL>{{Kirjaviite | Tekijä=Lindell, Ismo | Nimeke=Sähkön pitkä historia | Sivu=124 | Julkaisija=Otatieto | Vuosi=2009 | Julkaisupaikka=Helsinki | Selite="Sähkömagnetismin peruslait" | Tunniste = | Isbn = 978-951-672-358-0}}</ref>
<ref name=EV>{{Kirjaviite | Tekijä=Voipio, Erkki | Nimeke=Sähkö- ja magneettikentät | Selite=Moniste 381 | Sivut=97–100 | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Espoo | Vuosi=1987 | Tunniste = | Isbn = 951-672-038-2}}</ref>
}}

==  Kirjallisuutta  ==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Lindell, Ismo & Sihvola, Ari | Nimeke=Sähkömagneettinen kenttäteoria 1. Staattiset kentät | Julkaisija=Otatieto | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2013 | Tunniste = | Isbn = 978-951-672-354-2}}

[[Luokka:Fysiikan lait]]
[[Luokka:Sähkömagnetismi]]
[[Luokka:Virtausdynamiikka]]