Lähdekoodi sivulle Aste (polynomi)

__NOTOC__'''Polynomin aste''' on [[matematiikka|matematiikassa]] käytetty termi, jolla jaotellaan erilaisia [[polynomi|polynomeja]] niiden ominaisuuksien mukaan. Polynomin, joka muodostuu yhdestä tai useammasta [[monomi]]sta, perusominaisuudet määrätyvät korkeampiasteisen monomin mukaan.

== Esimerkki ==
Monomin aste on [[potenssi]]merkinnässä olevan [[eksponentti|eksponentin]] arvo. Esimerkiksi potenssin
:<math>3 x^5</math>
aste on viisi. Kun polynomissa on useita monomeita, tulee polynomin asteeksi korkein monomin aste. Esimerkiksi polynomi <var>p(x)</var>
:<math>p(x)=3x^6+2x^5-2x^2+x-4</math>
muodostuu viidestä monomista eli termistä. Niiden asteet ovat vasemmalta lukien 6, 5, 2, 1 ja 0. Koska asteluku 6 on korkein aste, tulee se polynomin asteluvuksi. Tällöin sanotaan, että ''polynomi <var>p(x)</var> on kuudetta astetta'', ja se voidaan merkitä myös 
:<math>\deg(3x^6+2x^5-2x^2+x-4) = 6</math>,
missä ''deg'' merkitsee englanniksi ''degree''.

== Nimityksiä ==
Polynomifunktiosta, jonka asteluku on <var>n</var>, käytetään nimitystä
* <var>n</var> = 0: [[Vakiofunktio]]
* <var>n</var> = 1: [[Lineaarinen funktio]] eli ensimmäisen asteen polynomi
* <var>n</var> = 2: [[Kvadraattinen funktio]] eli toisen asteen polynomi
* <var>n</var> = 3: [[Kolmannen asteen polynomifunktio|Kuutiollinen funktio]] eli kolmannen asteen polynomi
* <var>n</var> = 4: [[Neljännen asteen polynomifunktio|neljännen asteen polynomi]]
* <var>n</var> = n: n. asteen polynomi

== Asteen määräytyminen ==
Seuraavassa esitellään muutama yleinen tapaus polynomilaskennassa. Niissä polynomi ei saa olla ''nollafunktio'', sillä kun ei ole astetta.
Kahden polynomin <var>P(x)</var> ja <var>Q(x)</var> yhteen- ja vähennyslaskussa tuloksen <var>P(x)±Q(x)</var> aste on suurempi aste:
:<math>\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q))</math>,
:<math>\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q))</math>.
Esimerkiksi summan <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> aste on 3, koska 3&nbsp;≤&nbsp;max(3,&nbsp;2). Samoin erotuksen <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> aste on 2, koska 2&nbsp;≤&nbsp;max(3,&nbsp;3).

Vakiolla kertominen ei vaikuta astelukuun:
:<math>\deg(cP)=\deg(P)</math>.
Esimerkiksi <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> aste on 2, joka on myös alkuperäisen polynomin <math>x^2+3x-2</math> aste.

Polynomien <var>P(x)</var> ja <var>Q(x)</var> tulon <var>P(x)Q(x)</var> aste on asteiden summa
:<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)</math>
ja osamäärässä <var>P(x)/Q(x)</var> asteiden erotus
:<math>\deg\left(\frac{P}{Q}\right) = \deg(P) - \deg(Q)</math>.
Esimerkiksi tulon <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> aste on 3&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;5.

Polynomien <var>P(x)</var> ja <var>Q(x)</var> [[yhdistetty funktio|yhdistetyn funktion]] aste on asteiden tulo
:<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)</math>.
Esimerkiksi, jos <math>P(x) = (x^3+x)</math>, <math>Q(x) = (x^2+1)</math>, niin <math>(P \circ Q)(x) = P(x) \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, jonka aste on 6. Alkuperäisten polynomien asteiden tulo <math>2 \cdot 3 = 6</math>

== Asteen määrittäminen funktion arvoista ==
Polynomin <var>P(x)</var> aste voidaan laskea raja-arvona 
:<math>\deg  P = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |P(x)|}{\log x}.</math>
Yleistäen voidaan määrittää muidenkin funktioiden aste edellisellä raja-arvolla. Esimerkiksi:
* [[Käänteisluku|Käänteislukufunktion]] <math>\ 1/x</math> aste &minus;1.
* [[Neliöjuuri|Neliöjuurifunktion]]n <math>\sqrt x </math> aste on 1/2.
* [[Logaritmi]]funktion <math>\ \log x</math> aste on 0.
* [[Eksponenttifunktio]]n <math>\ \exp x</math> aste on ∞.

Yleisen funktion <var>f(x)</var> aste voidaan määrittää toisenkin raja-arvon avulla:
:<math>\deg  f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}</math>.

== Lähteet ==
* Wolfram Mathworld: [http://mathworld.wolfram.com/PolynomialOrder.html Polynomial order]
* Ranto, Sanna: [http://matta.hut.fi/matta2/algebra/smr281.pdf Polynomin aste]

[[Luokka:Polynomit]]