Lähdekoodi sivulle Algebra

[[Kuva:Mathematics lecture at the Helsinki University of Technology.jpg|thumb|[[Lineaarialgebra]]n luento [[Teknillinen korkeakoulu|Teknillisessä korkeakoulussa]].]]
'''Algebra''' on [[geometria]]n ja [[analyysi (matematiikka)|analyysin]] ohella yksi [[matematiikka|matematiikan]] päähaaroista. Algebrassa tutkimuskohteina ovat [[laskutoimitus]]ten yleiset ominaisuudet jossakin perus[[joukko-oppi|joukossa]], jossa ne on määritelty. Tällaisia laskutoimituksia voivat olla esimerkiksi [[yhteenlasku|yhteen-]] ja [[kertolasku]]. Laskutoimitusten määritteleminen joukkoon tuottaa [[algebrallinen rakenne|algebran perusrakenteet]]: [[ryhmä (algebra)|ryhmä]]n, [[Rengas (matematiikka)|renkaan]] ja [[kunta (matematiikka)|kunnan]]. Esimerkiksi vektorit muodostavat ryhmän, [[kokonaisluku|kokonaisluvut]] renkaan, [[rationaaliluku|rationaaliluvut]] ja [[reaaliluku|reaaliluvut]] kunnan.

Eri yhteyksissä algebralla voidaan tarkoittaa seuraavia:
* [[alkeisalgebra]] eli "kirjainlasku" on alkeismatematiikan haara, jossa perusjoukkona on [[rationaaliluku|rationaali]]- tai [[reaaliluku]]jen joukko. [[Aritmetiikka|Aritmetiikasta]] se eroaa pääasiassa siinä, että tunnettujen, numeroilla merkittyjen lukujen ohella siinä käytetään myös tuntemattomia lukuja ja [[muuttuja (matematiikka)|muuttujia]], joita merkitään yleensä kirjaimilla, varsinkin ratkaistaessa [[yhtälö]]itä.
* Nykyaikaisessa [[puhdas matematiikka|puhtaassa matematiikassa]]:
** [[abstrakti algebra]] on laaja matematiikan haara, joka käsittelee relaatiota ja [[laskutoimitus|laskutoimituksia]].
** algebra merkitsee myös matemaattista struktuuria. A-algebra on ykkösellinen vaihdannainen rengas B, joka on varustettu rengashomomorfismilla <math>A\to B</math>.<ref>Qing Liu:Algebraic Geometry and Arithmetic Curves</ref>

Alkeisalgebrassa, jota opetetaan [[peruskoulu]]n yläasteella ja [[lukio]]ssa, otetaan käyttöön muuttujat. Lausekkeissa, joissa niitä esiintyy, käytetään rationaali- tai reaalilukujen laskutoimituksia.

Algebra nykyaikaisen matematiikan haarana on paljon laajempi kuin alkeisalgebra. Se tutkii paitsi tavallisia lukuja, myös mitä tahansa joukkoa, jossa alkioiden välille voidaan määritellä laskutoimituksia. Sen mukaan, mitkä laskutoimitukset joukossa on määritelty ja mitä ominaisuuksia niillä on, puhutaan erilaisista [[algebrallinen struktuuri|algebrallisista struktuureista]], joista tärkeimpiä ovat:
* [[monoidi]]
* [[ryhmä (algebra)|ryhmä]]
* [[rengas (matematiikka)|rengas]]
* [[kokonaisalue]]
* [[kunta (matematiikka)|kunta]]

Algebra on yksi [[puhdas matematiikka|puhtaan matematiikan]] päähaaroista [[geometria]]n, [[analyysi (matematiikka)|analyysin]], [[topologia (matematiikka)|topologian]], [[kombinatoriikka|kombinatoriikan]] ja [[lukuteoria]]n ohella.

== Historia ==
[[Kuva:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|300px|Eräs arabiankielisistä käsikirjoituksista, jossa algebraa on käsitelty.]]
Algebran kehityksen voidaan katsoa alkaneen muinaisessa [[Babylonia]]ssa,<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Dirk J. Struik | Nimeke = A Concise History of Mathematics | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1987 | Julkaisija = Dover Publications | Tunniste = | Isbn = 0486602559 }}</ref> jossa kehitettiin aritmeettinen järjestelmä, jolla voitiin suorittaa laskutoimituksia [[algoritmi]]sesti. Babylonialaiset keksivät kaavoja, joilla voitiin ratkaista ongelmia, jotka nykyisin ratkaistaisiin [[ensimmäisen asteen yhtälö|ensimmäisen]] tai [[toisen asteen yhtälö]]n avulla. Sitä vastoin useimmat saman aikakauden [[Muinainen Egypti|egyptiläiset]] samoin kuin [[antiikin Kreikka|antiikin kreikkalaiset]] matemaatikot yleensä ratkaisivat yhtälöitä geometristen menetelmien avulla, joita on kuvattu esimerkiksi [[Rhindin papyrus|Rhindin papyruksessa]] sekä myöhemmin [[Eukleides|Eukleideen]] [[Elementa]]ssa. Kreikkalaisten geometrian tietämys, joka tyypillisimmillään esiintyy Elementassa, tarjosi lähtökohdan, jolla voitiin, paitsi ratkaista tiettyjä yhtälöitä, myös kehittää yleisempiä menetelmiä yhtälöiden laatimiseksi ja ratkaisemiseksi, joskin tämän toteuttivat vasta keskiajan islamilaiset matemaatikot.

[[Platon]]in aikaan mennessä [[kreikkalainen matematiikka]] oli suuresti muuttunut. Antiikin kreikkalaiset laativat geometrisen algebran, jossa suureita kuvattiin geometrisilla kohteilla, yleensä janoilla, joita merkittiin kirjaimilla.<!--<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 258}}</ref>-->{{lähde|tarkemmin}}
Ajanlaskumme kolmannella vuosisadalla aleksandrialainen matemaatikko [[Diofantos]], jota joskus sanotaan ''algebran isäksi'', laati ''Arithmetica''-nimisen kirjasarjan. Nämä kirjat käsittelevät algebrallisten yhtälöiden ratkaisemista.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Florian Cajori | Nimeke = A History of Elemenatry Mathematics – With Hints on Methods of Teaching | Sivu = 34 | Vuosi = 2010 | Julkaisija=Read Books DesignRead Books Design | Isbn= 1-4460-2221-8 | www = http://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false}}</ref>

Sana ''algebra'' on peräisin [[arabian kieli|arabian kielestä]] ({{lang|ar|الجبر}} ''{{transl|ar|al-jabr}}''). ''Al-jabr'' tarkoittaa palauttamista, etenkin negatiivisten lukujen muuttamista positiivisiksi siten, että ne siirrettiin yhtälön toiselle puolelle.'''<ref>{{Verkkoviite|osoite=https://matematiikkalehtisolmu.fi/2010/kasitehist.html|nimeke=Matematiikan peruskäsitteiden historia, s. 17|tekijä=Erkki Luoma-aho|julkaisu=|ajankohta=1996–2012|julkaisija=Matematiikkalehti Solmu|viitattu=}}</ref>''' Käsitettä käytti persialainen matemaatikko [[al-Khwarizmi]] (noin 800–850). Hän kirjoitti teoksen  "Hindunumeroitten avulla laskeminen", jossa algebraa käsitellään aritmetiikasta ja geometriasta riippumatta.<ref>{{kirjaviite |Tekijä = Roshdi Rashed | Nimeke = Al KhwarizmiThe Beginnings of Algebra|author=Roshdi Rashed | Julkaisija = Saqi Books | Vuosi = 2009 | Tunniste = | Isbn = 0-86356-430-5}}</ref>

[[Hellenismi|Hellenistiset]] matemaatikot [[Heron Aleksandrialainen]] ja [[Diofantos]] samoin kuin intialaiset kuten [[Brahmagupta]] kehittivät Egyptistä ja Babyloniasta perittyä matematiikkaa. Heidän teoksistaan huomattavimmat ovat Diofantoksen ''[[Arithmetica]]'' ja Brahmaguptan ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' .<ref>[http://www.algebra.com/algebra/about/history/ History of Algebra]</ref> Esimerkiksi varhaisin täydellinen [[toisen asteen yhtälö]]n ratkaisu, jossa myös nolla ja [[negatiivinen luku|negatiiviset luvut]] on otettu huomioon, on peräisin Brahmaguptalta. Myöhemmin arabialaiset matemaatikot kehittivät algebralliset menetelmät paljon korkeammalle tasolle. Sen sijaan, että Diofantos ja babylonialaiset matemaatikot käyttivät enimmäkseen erilaisia ''ad hoc'' -menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi, Al-Khwarizmi kehitti yleisempiä menetelmiä. Hän ratkaisi ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä käyttämättä kuitenkaan algebrallisia symboleja, negatiivisia lukuja tai nollaa, ja sen vuoksi hän erotti useita eri yhtälötyyppejä.<ref name="Meri2004">{{kirjaviite|Tekijä = Josef W. Meri|Nimeke=Medieval Islamic Civilization|www=http://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|Vuosi=2004|Julkaisija=Psychology Press| Tunniste = | Isbn = 978-0-415-96690-0|Sivu=31}}</ref>
{{käännettävä}}
<!--
[[File:Gerolamo Cardano (colour).jpg|thumb|200px|In 1545, the Italian mathematician [[Girolamo Cardano]] published ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars magna]]'' -''The great art'', a 40-chapter masterpiece in which he gave for the first time a method for solving the general [[quartic equation]].]]
The [[Greeks|Greek]] mathematician [[Diophantus]] has traditionally been known as the "father of algebra" but in more recent times there is much debate over whether al-Khwarizmi, who founded the discipline of ''al-jabr'', deserves that title instead.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |pages=178, 181 |isbn=0471543977 }}</ref> Those who support Diophantus point to the fact that the algebra found in ''Al-Jabr'' is slightly more elementary than the algebra found in ''Arithmetica'' and that ''Arithmetica'' is syncopated while ''Al-Jabr'' is fully rhetorical.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |page=228 |isbn=0471543977 }}</ref> Those who support Al-Khwarizmi point to the fact that he introduced the methods of "[[Reduction (mathematics)|reduction]]" and "balancing" (the transposition of subtracted terms to the other side of an equation, that is, the cancellation of [[like terms]] on opposite sides of the equation) which the term ''al-jabr'' originally referred to,<ref name=Boyer-229>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 229}} "It is not certain just what the terms ''al-jabr'' and ''muqabalah'' mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word ''al-jabr'' presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word ''muqabalah'' is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."</ref> and that he gave an exhaustive explanation of solving quadratic equations,<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 230}} "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."</ref> supported by geometric proofs, while treating algebra as an independent discipline in its own right.<ref>Gandz and Saloman (1936), ''The sources of al-Khwarizmi's algebra'', Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".</ref> His algebra was also no longer concerned "with a series of [[problem]]s to be resolved, but an [[Expository writing|exposition]] which starts with primitive terms in which the combinations must give all possible prototypes for equations, which henceforward explicitly constitute the true object of study". He also studied an equation for its own sake and "in a generic manner, insofar as it does not simply emerge in the course of solving a problem, but is specifically called on to define an infinite class of problems".<ref name=Rashed-Armstrong>{{Citation | last1=Rashed | first1=R. | last2=Armstrong | first2=Angela | year=1994 | title=The Development of Arabic Mathematics | publisher = Springer | isbn=0-7923-2565-6 | oclc=29181926 | pages=11–2}}</ref>

The Persian mathematician [[Omar Khayyam]] is credited with identifying the foundations of [[algebraic geometry]] and found the general geometric solution of the [[cubic equation]]. Another Persian mathematician, [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]], found algebraic and numerical solutions to various cases of cubic equations.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> He also developed the concept of a [[Function (mathematics)|function]].<ref>{{Citation|last=Victor J. Katz|first=Bill Barton|title=Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching|journal=Educational Studies in Mathematics|publisher = Springer Netherlands|volume=66|issue=2|date=October 2007|doi=10.1007/s10649-006-9023-7|pages=185–201 [192]|last2=Barton|first2=Bill}}</ref> The Indian mathematicians [[Mahavira (mathematician)|Mahavira]] and [[Bhaskara II]], the Persian mathematician [[Al-Karaji]],<ref name="Boyer al-Karkhi ax2n">{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 239}} "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. [...] His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! [...] In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax<sup>2n</sup> + bx<sup>n</sup> = c (only equations with positive roots were considered),"</ref> and the Chinese mathematician [[Zhu Shijie]], solved various cases of cubic, [[quartic equation|quartic]], [[quintic equation|quintic]] and higher-order [[polynomial]] equations using numerical methods. In the 13th century, the solution of a cubic equation by [[Fibonacci]] is representative of the beginning of a revival in European algebra. As the Islamic world was declining, the European world was ascending. And it is here that algebra was further developed.
-->
Klassisen algebran kehitys alkoi [[François Viète]]n töistä 1500-luvun lopulla. Vuonna 1637, [[René Descartes]] julkaisi teoksen ''[[La Géométrie]]'', jossa hän esitteli keksimänsä [[analyyttinen geometria|analyyttisen geometrian]] ja otti käyttöön algebran nykyiset merkintätavat. Tärkeitä edistysaskelia olivat myös [[kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava|kolmannen]] ja [[neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava|neljännen asteen yhtälön]] ratkaisukaavojen keksiminen 1500-luvun puolivälissä. [[Determinantti|Determinantin]] idean esitti ensimmäisenä japanilainen [[Kowa Seki]] 1600-luvulla ja hänestä riippumatta [[Gottfried Leibniz]] kymmenen vuotta myöhemmin ratkaistaakseen lineaarisen [[yhtälöryhmä]]n [[matriisi]]en avulla. Myös [[Gabriel Cramer]] tutki matriiseja ja determinantteja 1700-luvulla. [[Permutaatio]]ita tutki [[Joseph Lagrange]] vuonna 1770 artikkelissaan ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations''. [[Paolo Ruffini]] esitti ensimmäisenä [[permutaatioryhmä]]n käsitteen, edeltäjiensä tavoin algebrallisten yhtälöiden ratkaisemisen yhteydessä.

[[Abstrakti algebra]] kehitettiin 1800-luvulla. Myös sen lähtökohtana oli yhtälöiden ratkaiseminen, ja alkuvaiheessa keskeisiä tutkimuskohteita olivat [[Galois'n teoria]] ja kysymys lukujen [[konstruoituvuus|konstruoituvuudesta]].<ref>"[http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html The Origins of Abstract Algebra]". University of Hawaii Mathematics Department.</ref> Alan huomattavimpia tutkijoita olivat [[Évariste Galois]], [[Richard Dedekind]] ja [[Leopold Kronecker]].

== Lähteet ==
{{viitteet}}

=== Kirjallisuutta ===
* R. B. J. T. Allenby: ''Rings, Fields and Groups''. {{ISBN|0-340-54440-6}}
* Donald R. Hill, ''Islamic Science and Engineering'' (Edinburgh University Press, 1994).
* Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, ''Introducing Mathematics'' (Totem Books, 1999).
* George Gheverghese Joseph, ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'' ([[Penguin Books]], 2000).
* I. N. Herstein: ''Topics in Algebra''. {{ISBN|0-471-02371-X}}
* John J O'Connor and Edmund F Robertson, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]'' ([[University of St Andrews]], 2005).
* Metsänkylä, Tauno; Näätänen, Marjatta: ''Algebra''. Limes ry, 2003, {{ISBN|951-745-200-4}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Häsä, Jokke; Rämö, Johanna | Nimeke=Johdatus abstraktiin algebraan | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Gaudeamus | Vuosi=2015 | Tunniste = | Isbn = 978-952-495-361-0}}
* Haukkanen, Pentti: [[c:File:Alg03moniste.pdf|Algebra]]

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat}}
* [http://solmu.math.helsinki.fi/2010/kasitehist/AlgebraJaAritmetiikka.pdf Matematiikkalehti Solmu, Erkki Luoma-aho: Matematiikan historia aihealueittain, Algebra ja aritmetiikka] (pdf)
* [http://www.jamesbrennan.org/algebra/ ''Understanding Algebra.''] {{Wayback|1=http://www.jamesbrennan.org/algebra/ |päiväys=20060425091206 }} James W. Brennan. {{en}}
* [http://www.bagatrix.com/algebra.htm ''Algebra Software''] {{Wayback|1=http://www.bagatrix.com/algebra.htm |päiväys=20060519094158 }} {{en}}
* [http://www.helpalgebra.com ''Algebra Help''] {{Wayback|1=http://www.helpalgebra.com/ |päiväys=20150525163547 }} {{en}}
* [http://www.phy6.org/stargaze/Salgeb1.htm Algebra — the basic ideas]. {{en}}
* [http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm Highlights in the history of algebra] {{Wayback|1=http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm |päiväys=20141009100628 }}. {{en}}
* [http://www.mathleague.com/help/algebra/algebra.htm Explanation of Basic Topics] {{Wayback|1=http://www.mathleague.com/help/algebra/algebra.htm |päiväys=20061210143824 }}. {{en}}
* [http://www.sparknotes.com/math/#algebra1 Sparknotes' Review of Algebra I and II]. {{en}}
* [http://www.exampleproblems.com ExampleProblems.com] {{Wayback|1=http://www.exampleproblems.com/ |päiväys=20200908224319 }} Example problems and solutions from [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Algebra basic] {{Wayback|1=http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Algebra |päiväys=20201106184613 }} and [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Abstract_Algebra abstract] {{Wayback|1=http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Abstract_Algebra |päiväys=20201106184620 }} algebra.
* [http://www.purplemath.com/ Purplemath.com "Your Algebra Resource"]. {{en}}

[[Luokka:Algebra|*]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]