Lähdekoodi sivulle Aaltoyhtälö

[[Kuva:Wave equation 1D fixed endpoints.gif|thumb|Pulssi etenemässä nauhassa, jonka molemmat päät ovat kiinnitettyjä.]]
'''Aaltoyhtälö''' on hyperbolinen toisen kertaluvun [[osittaisdifferentiaaliyhtälö]], joka kuvaa etenevää harmonista [[aalto (fysiikka)|aaltoa]]. Yhtälö saa eri muotoja riippuen siitä, kuinka aaltoa välitetään ja mikä on väliaineena.

Kaikki aallot eivät ole [[siniaalto|sinimuotoisia]] eli sinusoidisia. Yksi esimerkki epäsinusoidisesta aallosta on pulssi, joka kulkee ''x''-akselin suuntaan osoittavaa narua pitkin nopeudella ''c''. Pulssin korkeus maasta on &phi;. Matka, jonka pulssi kulkee ajanhetken ''t'' ja ajanhetken 0 välillä on ''ct''.

Yksiulotteisena tämä yhtälö saa muodon:

:<math>\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}.</math>

Tämän yhtälön yleinen ratkaisu, '''aaltofunktio''', ([[Jean le Rond d'Alembert]]in antamassa muodossa) on

:<math>\phi(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)\,</math>. 

Tässä <math>F</math> ja <math>E</math> voidaan ajatella kahdeksi pulssiksi, jotka etenevät alas narua, toinen ''+x'' ja toinen ''-x'' suuntaan. Jos korvaamme ylemmässä yhtälössä ''x'':n tilalle suunnat ''x'', ''y'', ''z'', saamme kolmessa ulottuvuudessa etenevän aallon yhtälön

:<math>\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = \nabla^2 \phi</math>,

missä Laplacen operaattori

:<math>\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>.

Funktio <math>\phi(x,t)</math> esittää aaltoliikkeessä värähtelevää suuretta, joka voi olla esimerkiksi pinnan korkeus veden pinnalla etenevissä [[aalto|aalloissa]], [[paine]] [[ääniaallot|ääniaalloissa]] tai [[sähkökentän voimakkuus]] [[sähkömagneettinen aalto|sähkömagneettisissa aalloissa]]. Yhtälössä esiintyvä parametri ''v'' on aaltoliikkeen nopeus, sähkömagneettisten aaltojen tapauksessa [[valonnopeus]] ''c''.

Epähomogeeninen aaltoyhtälö voi aiheuttaa massan liikettä.

Eräs tunnettu esimerkki aaltoyhtälöstä on [[Schrödingerin yhtälö]], joka kuvaa hiukkasen aaltomaista käyttäytymistä [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikassa]]. Ratkaisuja tähän yhtälöön ovat [[aaltofunktio]]t, joilla voidaan kuvata hiukkasen todennäköisyysjakaumaa.

[[Luokka:Aaltoliike]]
[[Luokka:Osittaisdifferentiaaliyhtälöt]]