Lähdekoodi sivulle 0 (luku)

{{Luonnollinen luku
|luku           = 0
|lukujoukko     = Z
|kymmenluku     = 0-9
|kardinaaliluku = nolla
|järjestysluku  = nollas
|numeronimi     = nolla
|alkutekijät    = ei ole
|binääri        = 0
|oktaali        = 0
|duodesimaali   = 0
|heksadesimaali = 0
|vigesimaali    = 0
}}

[[Kuva:7-segment abcdef.svg|pienois|100px|Nollan esittäminen [[7-osainen näyttö|seitsen&shy;segmentti&shy;näytöllä]].]]
'''Nolla''' ilmaisee lukumäärää ”ei yhtään”. Nollaa alettiin käyttää suhteellisen myöhään ja tapa on peräisin intialaisilta.{{Lähde|Historiaosiokaan ei valota intialaista alkuperää}} Nollaa ei ole perinteisesti pidetty [[luonnollinen luku|luonnollisena lukuna]] ja vasta 1800-luvun lukuteoreetikot alkoivat keskustella sen asemasta. Kyseessä on heidänkin mukaansa lähinnä määrittelykysymys.

Vaikka nolla ilmaisee määrän ”ei mitään”, on sen mukaanotto ''paikkamerkinnässä'' vaikuttanut merkittävästi laskutoimitusten sujuvuuteen. Monet laskutoimituksien algoritmit vaativat nolla-merkin käyttöä lukuesityksessä toimiakseen ilman poikkeussääntöjä. Laskuja on voitu tehdä kirjoittamalla paperille välitulokset muistiin ja viemällä laskut loppuun ilman apuvälineitä. Laskemisesta on näin tullut suurten ihmisjoukkojen opittavissa oleva taito.

== Nolla desimaalijärjestelmässä ==
Luvun [[kymmenjärjestelmä|desimaaliesityksen]] [[paikkamerkintä|paikkamerkinnässä]] nolla ilmaisee puuttuvaa kymmenpotenssikerrointa. Esimerkiksi luvussa 4206 nollalla on merkitty kymmenien lukumäärää. Luku muodostetaan siten, että lasketaan yhteen 4 tuhatta, 2 sataa ja 6. Kymmeniä ei luvun muodostamiseen tarvita, joten niiden lukumäärää merkitään nollalla.

Monissa muinaisissa paikkamerkintää käyttävissä lukujärjestelmissä ei nollaa aina käytetty. Muun muassa babylonialaiset luvut kirjoitettiin jättämällä tyhjä paikka puuttuvalle kertoimelle.

== Nollan aritmetiikka ==
Luonnollisen luvun määritelmässä ei oteta nollaa aina mukaan, mutta joskus näin tehdään. Nolla on suurin ei-[[positiivinen luku]] ja pienin ei-[[negatiivinen luku]]. Nolla itse ei ole positiivinen eikä negatiivinen.

Nolla on [[parillinen luku]]. Nolla on myös ainoa luku, joka on sekä [[reaaliluku]] että [[imaginaariluku]], koska <math>\scriptstyle 0 = 0i</math>.

[[Yhteenlasku]]ssa toinen [[operandi]] voi olla nolla. Nolla ei vaikuta summaan, joka saa toisen operandin arvon. Nollaa kutsutaankin yhteenlaskussa [[neutraalialkio]]ksi.
:<math>a+0 = 0+a=a</math>
[[Vähennyslasku]]ssa nolla liittyy [[vastaluku|vastaluvun]] käsitteeseen.
:<math>a-0 = a \text{ sekä } 0-a=-a</math>
Kun [[kertolasku]]ssa toinen operandi on nolla, saadaan tuloksi nolla.
:<math>a \cdot 0 = 0 \cdot a =0</math>
[[Jakolasku]]ssa nolla voi olla vain [[osoittaja]]na.
:<math>\frac{0}{a}=0</math>
Jos nolla asetetaan [[nimittäjä]]ksi, on tulos määrittelemätön. [[Potenssi]]merkinnässä sallitaan kaksi nollan käyttötapaa.
:<math>0^a=0 \text{ ja } a^0 = 1 </math>
Jos molemmat ovat nollia, on tulos määrittelemätön. Nollan [[kertoma]] eli
:<math>0! = 1</math>
määritelmän mukaan.

=== Nollalla jakaminen ===
{{Pääartikkeli|[[Nollalla jakaminen]]}}
Nollalla ei voi jakaa, koska on mahdotonta määritellä reaalilukujen jakolaskua siten, että nollalla jakaminen olisi mahdollista ja että tutut jakolaskun laskusäännöt olisivat yhä voimassa. Asiaa havainnollistetaan joskus esittämällä nollalla jakamisen absurdeja seurauksia. Esimerkkinä ”osoitetaan” seuraavassa, että <math>1 = 0</math>.

:Olkoot <math>x</math> ja <math>y</math> sama luku, siis <math>x = y</math>. Siirtämällä molemmat termit yhtälön samalle puolelle saadaan <math>x - y = 0</math>. Jaetaan yhtälö nyt puolittain luvulla <math>x - y</math>. Vasemmalle puolelle jää luku 1, sillä luku jaettuna itsellään on 1. Oikealle puolelle jää 0, sillä nolla jaettuna millä tahansa nollasta eroavalla luvulla on 0. Järjenvastaisen tuloksen syynä on luvulla <math>x - y</math> jakaminen. Koska jakava luku <math>x - y</math> on kuitenkin nolla, saadaan virheellisesti ”todistettua”, että 1 olisi yhtä kuin 0.

== Historia ==
Varhaisimmissa lukujärjestelmissä ei ollut nollan merkkiä. Luvut ilmaistiin sanallisesti, ja ne vastasivat kysymyksiin, kuten ”kuinka monta halkoa olemme kasanneet”. Nollaa vastaava ilmaisu olisi ”ei yhtään”.

Nollamerkin erityinen arvo paljastuu siitä, että ilman nollaa tarkoittavaa merkkiä laskemisessa ei voitu soveltaa paikkamerkintää, missä numerosymbolin lisäksi numeron sijainti suhteessa muihin osoitti sen arvoa. Esimerkiksi kantalukuun 10 perustuvassa järjestelmässä paikkamerkintä ”1234” tarkoittaa lukua, joka saadaan laskemalla <math>1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0</math>. Toisin kuin paikkamerkintään perustuvilla symboleilla, roomalaisten käyttämillä lukujen kirjainsymboleilla voitiin tehdä vain päässälaskuja, jossa luvut ensin sanallistettiin. Vielä paikkamerkinnän käyttöönoton jälkeenkin jäi tavaksi esittää matemaattiset ratkaisut sanallisesti eikä numeraalisilla laskutoimituksilla. Näin teki vielä [[Al-Khwarizmi]] (n. 800–840), joka oli ensimmäinen islaminuskoinen paikkamerkkijärjestelmää esitellyt matemaatikko.<ref>Boyer, s. 327–330</ref><ref>{{Kirjaviite|Tekijä=J. L. Berggren|Nimeke=Islamic Mathematics. Teoksessa: David C.Lindberg & Michael H. Shank (toim.): The Cambridge History of Science. Volume 2. Medieval Science|Vuosi=2013|Sivu=|Julkaisija=Cambridge University Press}}</ref> Syynä saattoi olla se, että paperin sijaan käytettiin vielä pitkään pieniä vahatauluja, joihin merkittiin vain sormilla tai ulkomuistista tehtyjen laskutoimitusten lopputulos.<ref>{{Kirjaviite|Tekijä=J. L. Berggren|Nimeke=Islamic Mathematics. Teoksessa: David C.Lindberg & Michael H. Shank (toim.): The Cambridge History of Science. Volume 2. Medieval Science|Vuosi=2013|Sivu=70–71|Julkaisija=Cambridge University Press}}</ref>

Carl Boyer kirjoittaa matematiikan historiassaan, että [[babylonia]]laiset keksivät lukujen paikkamerkinnän jo noin 4&nbsp;000 vuotta sitten. Luku 2 ilmaistiin kahdella nuolisymbolilla ↑↑. Luku ↑↑ ↑↑ ↑↑ sisälsi kaksi tyhjää väliä, jotka erottivat lukujen paikkoja. Koska kantalukuna oli 60, oikealla oleva ryhmä tarkoitti kahta ykköstä, keskimmäinen ryhmä kantaluvun kaksinkertaista arvoa ja vasen ryhmä kantaluvun neliötä, mistä saadaan <math>2 \cdot 60^2 + 2 \cdot 60 + 2</math>, mikä kymmenjärjestelmässä vastaa lukua 7322. Babylonialaisilla ei ollut selkeää tapaa merkitä tyhjää paikkaa eikä merkkiä nollalle. [[Aleksanteri Suuri|Aleksanteri Suuren]] valloitusretken aikoihin 300 eaa. keksittiin käyttää tyhjän merkkinä kahta vinokiilaa, mutta sillä merkittiin vain lukujen keskellä olevat nollat. Babylonialaisten paikkamerkintä ei siten ollut täydellistä.<ref>Boyer, s. 55–56</ref>
[[Tiedosto:P. Lund, Inv. 35a.jpg|pienois|250px|Esimerkki nollasta kreikkalaisesta käsikirjoituksesta noin 200 jaa. Nollamerkki löytyy tekstin oikeasta alakulmasta.]]
[[Aristoteles]] tunsi nollan tai tyhjän käsitteen mutta ei pitänyt sitä tarpeellisena. Hänen mukaansa nolla ja [[ääretön]] olivat käsitteitä, jotka liittyivät lukuihin mutta eivät olleet lukuja. Aristoteleen mukaan ei voi olla nolla jotakin; nolla jostakin tarkoittaa, että ei ole mitään jostakin. Tällöin ei ole mitään. Aristoteles perusteli nollan hyödyttömyyttä myös sillä, että nollaan ei ikinä päädytä jakamalla. Tavaroita voi jakaa siten, että joku saa 1:n tai jopa murto-osia 1:stä, mutta ei nollaa.{{Lähde}}

[[Klaudios Ptolemaios|Ptolemaios Aleksandrialaisen]] jännetaulukoissa [[130]] jaa. osana [[seksagesimaalijärjestelmä|kuusikymmenlukujärjestelmä]]ä esiintyy myös nollan symboli. Muita lukuja merkittiin joonialaisilla kirjaimilla normaaliin tapaan. Ptolemaioksen nolla oli vaihtelevasti koristettu pieni [[ympyrä]], jonka päälle oli vedetty pitkä viiva.<ref name="Nimetön-rGYt-1">Boyer, s. 308</ref> Varhaisin kiistaton nollan merkintä on kuitenkin vuodelta 862 olevassa intialaisessa kaiverruksessa. Pidetään mahdollisena, että nolla syntyi kreikkalaisessa maailmassa, ehkä Aleksandriassa, ja siirtyi sieltä Intiaan.<ref>Boyer, s. 307</ref>

Nykyisen [[Pakistan]]in alueelta Bakhshalin kylästä on löytynyt nollia sisältävä käsikirjoitus. Käsikirjoituksen vanhimmat osat ovat ajalta 224–383 jaa. Käsikirjoitus koostuu 70 tuohenpalasesta, joissa on [[sanskrit]]inkielistä tekstiä ja matemaattisia kaavoja.<ref>{{Lehtiviite|Tekijä=|Otsikko=Nolla onkin 500 vuotta luultua vanhempi|Julkaisu=Tekniikan historia|Ajankohta=5/2017|Sivut=9|Julkaisija=}}</ref>

Nolla näyttää syntyneen riippumattomasti Jukatanin niemimaalla [[Mayojen korkeakulttuuri|mayojen kulttuurissa]] ennen Kolumbusta. Kun kantalukuna käytettiin lukua viisi, luku 17 voitiin ilmaista kahdella pisteellä ja niiden alla olevilla kolmella viivalla. Tyhjää paikkaa merkittiin erilaisilla symboleilla.<ref>Boyer, s. 307–308</ref>

Varhaisin viittaus intialaisiin numeroihin on syyrialaisen piispan Severus Seboktin huomautus vuonna 662, että intialaiset käyttivät yhdeksää numeromerkkiä.<ref>Boyer, s. 306–307</ref> Kun nolla saatiin mukaan, sen merkiksi omaksuttiin hanhen munaa esittävä soikio. Intialaiset numerot sisälsivät kolmen periaatteen yhdistelmän: 1) kantalukuna oli kymmenen, 2) käytössä oli paikkamerkinnät ja 3) kutakin kymmentä lukua vastasi oma merkkinsä.<ref name="Nimetön-rGYt-1"/> Intiassa ja osassa [[Arabian niemimaa]]ta käytetään nollan symbolina keskitettyä pistettä ympyrän tai [[ellipsi|soikion]] sijaan.

[[Brahmagupta]] kirjoitti Keski-Intiassa vuoden 628 jaa. tienoilla kirjan [[Brahmasphuta Siddhāntan]]. Siinä hän luettelee joitakin nollaan ja negatiivisiin lukuihin liittyviä ominaisuuksia seuraavasti: ”Nollan ja negatiivisen luvun summa on negatiivinen. Nollan ja positiivisen luvun summa on positiivinen. Kahden nollan summa on nolla. Positiivisen ja negatiivisen luvun summa on lukujen erotus tai nolla, jos ne ovat yhtä suuret. Positiivisen tai negatiivisen luvun jakolaskun tulos, kun nolla on jakajana, on murtoluku, jossa nolla on jakaja. Nolla jaettuna positiivisella tai negatiivisella luvulla on nolla tai murtoluku, jossa osoittajana on nolla ja nimittäjänä on mainittu luku. Nolla jaettuna nollalla on nolla.” Viimeinen lause, jossa nolla jaetaan nollalla, ei vastaa nykykäsitystä laskun tuloksesta.<ref>Boyer, s. 316</ref>

=== Nollan tulo Eurooppaan ===
Kreikkalaiset tunsivat nollan käsitteen babylonialaisista numeroista, mutta he eivät pitäneet nollan käsitteestä filosofisena käsitteenä. Monet [[Zenonin paradoksit|Zenonin paradokseista]] selittyvät sillä, että nollan käsite oli hämärä. [[Roomalaiset numerot|Roomalaisiin numeroihin]] ei alun perin kuulunut nollaa numerona, mutta [[latina|latinan kielestä]] löytyvät sanat ''nullus'' ("ei lainkaan"), ''sine'' ("ilman") ja ''nihil'' ("ei-mikään"), ja he tunsivat olemattomuuden juridisena, mutta eivät matemaattisena, käsitteenä.

Ensimmäinen länsimaalainen, joka tunnusti nollan luvuksi, on ollut [[Dionysius Exiguus]] vuonna 525. Hän käytti latinan kirjainta N (sanasta "nullus") nollan merkkinä pääsiäisen laskukaavassaan<ref>https://hsm.stackexchange.com/questions/11312/why-didnt-the-roman-numeral-system-have-a-zero-digit-of-its-own</ref>. Myös [[Beda Venerabilis]] käytti kirjainta N nollan merkkinä vuonna 725.<ref>https://www.algebra.com/algebra/homework/Roman-numerals/Introduction-To-All-Algebra-Mathematics.lesson</ref>

Nollan tulosta Eurooppaan tiedetään yhtä vähän kuin numeromerkkien alkuperästä. Ensimmäinen indoarabialaista lukujärjestelmää Euroopassa käsitellyt kirjoittaja oli luultavasti ''Gerbert d’Aurillac'' (940–1003). Hän opiskeli Espanjassa, missä hän tutustui luonnontieteisiin ja arabien matematiikkaan, mutta ei välttämättä nollaan. Myöhemmin hän toimi muun muassa Otto III:n hovissa ennen valintaansa [[Paavi]] [[Sylvester II|Sylvester II:ksi]] vuonna 999. Intialais-arabialainen järjestelmä tuotiin Eurooppaan varmuudella 1200-luvulla useiden oppineiden toimesta.<ref>Boyer, s. 355–356</ref> Yksi heistä oli Leonardo Pisalainen eli [[Fibonacci]], joka kirjoitti vuonna 1202 kirjassaan ''Liber abaci'' arabialaisista numeroista ja paikkamerkinnästä. Hän mainitsee nollan arabialaisen nimen ''zephirum'', joista saatiin eurooppalaisiin kieliin nimet ''cipher'' ja ''zero''.<ref>Boyer, s. 362</ref>

Eurooppalaisia nollaa mainitsevia tekstejä on vain muutamia ennen sen yleistä käyttöä laskemisessa. Vuodelta 1247 olevasta teoksesta löytyy [[Puikkolaskenta|sauvanumeroilla]] kirjoitettuna luku 1&nbsp;405&nbsp;536 siten, että nollana käytettiin soikeaa ympyrää. 1300-luvun Bysantissa käytettiin jo kymmenjärjestelmää ja sen numeroina yhdeksää ensimmäistä kreikkalaista kirjainta. Nollan virkaa hoiti ylösalaisin kirjoitettu h-merkki.<ref>Boyer, s. 354</ref> Nicolas Chuquet esitteli vuonna 1484 julkaistussa Triparty’ssa arabialaiset numerot ja nollan sanoen sen olevan ”ei mitään” tai ”se ei tarkoita arvoa” tai ”numero, jolla ei ole arvoa”.<ref>Boyer, s. 392</ref>

Suomen sana "nolla" pohjautuu latinan sanaan ''nullus''. [[Elias Lönnrot]] ehdotti vuonna 1839 [[suomen kieli|suomen kielen]] nolla-sanaksi ''tyhjykkää''.

== Muuta ==
* [[Radioamatööri]]en [[Kutsumerkki|kutsumerkeissä]] 0 on piirinumero [[Ahvenanmaan maakunta|Ahvenanmaan maakunnan]] (ent. [[Ahvenanmaan lääni]]) alueella.<ref>[https://oh3tr.fi/suomi/kurssi/ra-maaraykset.pdf Radioamatöörimääräykset]</ref>

== Lähteet ==
* {{Kirjaviite | Tekijä =Barrow John D. | Nimeke =Lukujen taivas | Suomentaja =Vilikko, Risto | Vuosi =1999 | Julkaisupaikka =Smedjebacken, Ruotsi | Julkaisija =Art House | Tunniste = | Isbn = 951-884-231-0 }}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.| Nimeke=Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa I  | Selite=(A history of mathematics, 1985.) | Suomentaja=Kimmo Pietiläinen | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Art House | Vuosi=1994 | Tunniste = | Isbn = 951-884-150-0 }}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.| Nimeke=Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II | Selite=(A history of mathematics, 1985.) | Suomentaja=Kimmo Pietiläinen | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Art House | Vuosi=1994 | Tunniste = | Isbn= 951-884-158-6}}

=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
<!-- Nämä viitteet ovat käyttämättömiä ja aiheuttavat viittausvirheen, ovat sen vuoksi pois kommentoitu 14.7.2020
* <ref name=barrow_paikkanolla>Barrow John D.: Lukujen taivas, ss. 121–151</ref>
* <ref name=boyer_nolla>Boyer, s. 56, 288, 307–309, 354, 362, 392</ref>
* <ref name=barrow02>Barrow John D.: Lukujen taivas, ss. 136–137</ref>
14.7.2020 -->
}}

==Kirjallisuutta==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Rikkonen, Harri | Nimeke=[[Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku]] | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1969 | Tunniste = | Isbn = 951-671-022-0}}
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf | Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. | ISBN = 978-952-7010-12-9 | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}

==Aiheesta muualla==
{{commonscat}}
* [https://yle.fi/uutiset/3-9833669 Radiohiiliajoitus pidensi nollan ikää puolella vuosituhannella] Yle, 2017

[[Luokka:Luonnolliset luvut]]
[[Luokka:Nolla|*]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]