Lähdekoodi sivulle 0,999...

[[Tiedosto:999 Perspective 2.svg|thumb|Luku 0,999.... jatkuu loputtomiin.]]
Luku '''0,999...''' (merkitään myös <math>0{,}\bar{9}</math> tai <math>0{,}\dot{9}</math>) on [[Matematiikka|matematiikassa]] päättymätön [[jaksollinen desimaaliluku]], joka on tasan yhtä suuri kuin [[1 (luku)|luku 1]].<ref>[http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/999999.shtml Cut-the-knot.org]</ref> Poikkeavan merkintätavan vuoksi monen on ollut vaikea mieltää, että luku on sama kuin 1. Se seuraa kuitenkin melko suoraan reaalilukujen [[täydellisyysaksiooma]]sta.{{Tarkenna}} Mikäli luottaa laskusääntöjen toimivuuteen, yhtäläisyyden voi todistaa myös yksinkertaisella koulumatematiikalla. Samaten esimerkiksi lauseet 0,333...=⅓ ja 0,666...=⅔ pitävät paikkansa saman periaatteen mukaan. Kaikki päättymättömät ja jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää [[murtoluku]]muodossa. 

Se, että luvulla 1 on useampi kuin yksi esitystapa, ei ole mitenkään erikoista. Erinäköisillä luvuilla voi olla sama arvo, esimerkiksi 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 = <sup>3</sup>/<sub>1</sub> ja niin edelleen.

== Todistuksia ==
Alla esitetyistä todistuksista kaksi ensimmäistä ovat maallikolle havainnollisimpia, mutta niissä oletetaan, että päättymättömiä desimaalilukuja voi laskea yhteen ja kertoa allekkain kuten päättyviä desimaalilukuja. Tämän täsmällinen todistaminen vaatisi [[suppeneva sarja|suppenevien sarjojen]] tutkimista.

=== Murtolukutodistus ===

<math>
\begin{align}
0{,}333\dots          &= \frac{1}{3} \qquad \vert \cdot 3 \\
0{,}999\dots          &= \frac{3}{3} \\ 
0{,}999\dots          &= 1
\end{align}
</math>

=== Algebrallinen todistus ===

<math>
\begin{align}
x        &= 0{,}999\ldots \qquad \vert \cdot 10 \\
10 x     &= 9{,}999\ldots \qquad \vert - x \\
10 x - x &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots \\
9 x      &= 9 \\
x        &= 1 \\
0{,}999\dots   &= 1
\end{align}
</math>

=== Geometriseen sarjaan perustuva todistus ===

<math>
\begin{align}
0{,}999\dots &= 9 \cdot 10^{-1} + 9 \cdot 10^{-2} + 9 \cdot 10^{-3} + \dots \\
           &= 9 \cdot (10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-3} + \dots) \\
           &= 9 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^n} \\
           &= 9 \cdot \frac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} = 9 \cdot\frac{1}{9} = 1.
\end{align}
</math>

Tämä todistus tosin edellyttäisi [[Geometrinen sarja|geometrisen sarjan]] summakaavan todistamisen, mutta se voidaan tässä yhteydessä sivuuttaa.

=== Hyperreaalilukutodistus ===

<math>\displaystyle 0{,}999 \dots= \lim_{n\to \infty} 0{,}\underbrace{99 \dots 9\,}_{n} = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k} = \lim_{n\to \infty} \left(1 - \frac{1}{10^n}\right) = 1 - \lim_{n\to \infty} \frac{1}{10^n} = 1. </math>

=== Täydellisyysaksioomaan perustuva todistusidea ===

Reaalilukujen täydellisyysaksiooman mukaan jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on [[Reaaliluku|reaalilukujen]] joukossa pienin yläraja eli [[supremum]], joka on helppo osoittaa yksikäsitteiseksi. Tarkastelemalla joukkoa {0,9, 0,99, 0,999, ...} voidaan todeta, että se on ylhäältä rajoitettu, ja esimerkiksi antiteesillä osoittaa, että sen supremumeja ovat sekä 0,999... että 1. Supremumin yksikäsitteisyydestä seuraa tällöin että 0,999... = 1. Rationaalilukujen joukossa täydellisyysaksiooma ei päde, mutta koska 1 ja 0,999... ovat rationaalilukuja, yleistyy tulos automaattisesti myös [[Rationaaliluku|rationaalilukujen]] joukkoon.

==Lähteet==
{{Viitteet}}
== Aiheesta muualla ==

{{Commonscat|0.999…}}
*[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html Why does 0.9999… = 1 ?] {{en}}
*[http://www.newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99167.htm Ask A Scientist: Repeating Decimals] {{en}}
*[http://qntm.org/pointnine Point nine recurring equals one] {{en}}
*[http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/themes/limits-infinity.html David Tall's research on mathematics cognition] {{en}}
{{Metatieto}}

[[Luokka:Matemaattiset paradoksit]]
[[Luokka:Matemaattiset todistukset]]
[[Luokka:Reaalianalyysi]]
[[Luokka:Reaaliluvut]]